挑战概率题：冰箱 1 有 30 瓶可乐，冰箱 2 里有 31 瓶， 60 天随机拿走 1 瓶..

冰箱

可乐

瓶

拿走

80 条回复

1

twor2

2020-07-15 10:47:28 +08:00

1

请搜索 app 作业帮

2

binux

2020-07-15 10:57:36 +08:00

9

概率是 0，60 天后冰箱 2 里最少有 30 瓶。

3

Raven316

2020-07-15 10:58:11 +08:00

31/61 吗

4

Isight

2020-07-15 11:01:30 +08:00

概率主要看冰箱 1 和 2 的位置还有主人的懒惰程度

5

dolphintwo

2020-07-15 11:04:35 +08:00

31/61 +1，不要想复杂

6

imdong

2020-07-15 11:12:49 +08:00

打算写代码实现，发现无法解决这个问题。

因为如果真随机，冰箱的饮料会变成负数。

所以，必然会出现，某个冰箱先拿空，然后要不要换个冰箱拿的情况。

7

FlyPuff

2020-07-15 11:13:00 +08:00

请问 60 天后此人体重增加多少~

8

chairuosen

2020-07-15 11:14:07 +08:00

感觉这个问题并不简单。先不要想 30，31 。问题基本等于抛 60 次硬币，正反各 30 次的概率。
这个问题知乎有问 https://www.zhihu.com/question/362403666/answer/956630635

9

duwan

2020-07-15 11:14:33 +08:00

1

用代码模拟了一下 0.55 左右

10

Vegetable

2020-07-15 11:18:06 +08:00

1

61 瓶可乐，拿走 60 瓶。剩下的可能是任意一瓶，每一瓶剩下的概率都是 1/61，剩在 2 的概率是 1*31/61

11

Vegetable

2020-07-15 11:19:17 +08:00

1

箱子里有红色球 30 个，蓝色球 31 个，随机从其中拿出 60 个，剩下的球是蓝色的概率是多少？

12

Raven316

2020-07-15 11:21:47 +08:00

1

@chairuosen 不完全一样，一个冰箱拿空以后就必须拿另一个了

13

WinG

OP

2020-07-15 11:23:59 +08:00 via Android

@imdong 对，不是负，一个冰箱拿空了再拿另一个冰箱

14

imdong

2020-07-15 11:24:06 +08:00

1

不用算了，这是 “脑筋急转弯”，2 楼正解

这是 60 天内随机拿走一瓶。
不是 60 天内每天随机拿走一瓶。

所以冰箱 2 最少还有 30 瓶。

所以概率 0 。

15

WinG

OP

2020-07-15 11:24:36 +08:00 via Android

@duwan 我也是这个结果

16

WinG

OP

2020-07-15 11:25:33 +08:00 via Android

@imdong 是第二个意思，我表达不严谨

17

WinG

OP

2020-07-15 11:26:21 +08:00 via Android

@binux 是每天拿一瓶，怪我表达不严谨

18

lang1pal

2020-07-15 11:31:23 +08:00

反过来想就是 60 天内把冰箱 1 拿空的概率是多少

19

across

2020-07-15 11:31:51 +08:00

1

是 50%吧。61 瓶排列组合，最后一个属于 2 号的比例····

20

imdong

2020-07-15 11:32:58 +08:00

1

经过代码测试，一千万次，剩余一瓶次数：5512370，第二次：5513145 。

55.12%，接下来，只需要找到一个合适的概念范围即可。

我支持

21

LemonButSweet

2020-07-15 11:33:38 +08:00

不应该是二分之一吗....选冰箱的问题？

22

across

2020-07-15 11:34:16 +08:00

哦，错了，61 瓶排列组合，最后一个属于 2 号的比例是 31/61

23

WinG

OP

2020-07-15 11:38:30 +08:00 via Android

@imdong
@duwan

我模拟的也是 0.55 ，不用暴力模拟法，这个概率怎么算？

24

shiyidi

2020-07-15 11:39:18 +08:00

应该是 1/2，前 59 次不影响结果，最后一次可能为 2:0 、1:1 、0:2，结果为 0+1/3*1/2*1/3

25

Banxiaozhuan

2020-07-15 11:40:09 +08:00

(0.5) ^ 30

26

Vegetable

2020-07-15 11:42:12 +08:00

1

关于程序模拟 0.55 的问题，0.55 对应的是随机选择一个冰箱，1 个冰箱 1 瓶，一个冰箱 2 瓶时，选择他们的可能性相等。而 31/61 考虑的不是冰箱，而是直接拿可乐。

27

chairuosen

2020-07-15 11:45:07 +08:00

1

@WinG #23 你如果用 20L 的算法，就是冰箱取空后不换成取另一个冰箱的可乐。则就是我 8L 说的问题

28

jinhan13789991

2020-07-15 11:45:29 +08:00

是 1/2 啊，要么 “冰箱 2 刚好剩下 1 瓶” 要么 “冰箱 2 刚好剩下不是 1 瓶”
/dog

29

nuk

2020-07-15 11:51:44 +08:00

这个很好计算啊
按照 11 楼的题目来计算
概率就是 C(30,60)/C(30,61)
实际上就是 31/61

30

hahastudio

2020-07-15 11:55:58 +08:00

3

我是这么想的：既然其中一个冰箱拿空了就必然会去拿另一个冰箱，那就是怎么这 61 瓶可乐按什么顺序拿的问题
全排列 61!
固定第二个冰箱里的某一瓶最后拿，其余 60 瓶的排列 60!
第二个冰箱有 31 瓶
那就是 60! * 31 / 61! = 31/61

31

hahastudio

2020-07-15 11:58:05 +08:00

1

这样的话，好像等价的问题更好理解：
61 瓶可乐，30 瓶普通的，31 瓶无糖的，随机拿 60 瓶，最后一瓶是无糖的概率 31/61

32

hicdn

2020-07-15 12:00:25 +08:00

等价转换，箱子里有 30 各红球，31 个白球，每次取一个球。求取 60 次后，箱子里剩一个白球的概率。

33

wxd92

2020-07-15 12:03:01 +08:00 via iPhone

我来
C(30,31)C(30,30)/C(60,61)
总事件从 61 个瓶取 60 个
该事件冰箱 1 30 个全取，冰箱 2 31 个中取 30 个

34

hicdn

2020-07-15 12:07:25 +08:00

@hicdn C(30,30)C(30,31)/C(60,61) = 31/61

35

nmdx

2020-07-15 12:08:27 +08:00 via Android

1

相当于一次性拿 60 瓶，最后剩 1 瓶，那么这 1 瓶是 2 号冰箱的概率就是 31/61 了

也可以换个角度，一开始先随机拿出来一瓶，后面 60 天随便怎么拿，保证第一瓶是 2 号冰箱的就行，概率为 31/61

个人意见，仅供参考

36

SakuraSa

2020-07-15 12:22:03 +08:00

6

A 冰箱有 a 瓶，B 冰箱有 b 屏，在 A 、B 冰箱中有可乐的冰箱中等概率取一瓶，最后 B 冰箱剩余 1 瓶的概率。

解：
设目标概率函数为: P(a, b)
由题目理解可得:

1. 当 a>0, b>0 时:
P(a, b) = 0.5 * P(a - 1, b) + 0.5 * P(a, b - 1)
2. 当 a=0 或 b=0 时:
P(a, 0) = 0
P(0, b) = 1

题目可由动态规划得:

```python

import functools.lru_cache

@lru_cache
def p(a, b):
if a and b:
return 0.5 * p(a - 1, b) + 0.5 * p(a, b - 1)
else:
return 1 if b else 0
```

时间复杂度 O(a*b)
空间复杂度 O(a*b)

本机运行结果：
```
>> timeit p(30, 31)

0.5512890865042848
578 µs ± 11.4 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each)
```

另外：31/61 = 0.5081967213114754

37

WinG

OP

2020-07-15 12:23:52 +08:00 via Android

@SakuraSa 牛逼！

38

gtchan13579

2020-07-15 12:27:17 +08:00

最终只有两种结果，要么冰箱 1 剩一瓶，要么冰箱 2 剩一瓶，所以答案 1/2.模拟的是什么鬼，这么简单还需要模拟吗。

39

WinG

OP

2020-07-15 12:28:36 +08:00 via Android

@gtchan13579 二分一是最典型的错误答案

40

cigarzh

2020-07-15 12:30:09 +08:00

2

ez

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum[(60!/((60-i)!*i!)),{i,0,30}]/2^60

41

chairuosen

2020-07-15 12:30:52 +08:00

@gtchan13579 #38 你去面试，要么过要么挂，那么你过的概率就是 50%了？

42

cigarzh

2020-07-15 12:32:08 +08:00

4

懒人直达

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum%5B%2860%21%2F%28%2860-i%29%21*i%21%29%29%2C%7Bi%2C0%2C30%7D%5D%2F2%5E60

43

kop1989

2020-07-15 12:34:48 +08:00

如果一个冰箱拿空就拿另外一个的话：
答案是 30 天 a，30 天 b 的概率+31 天 a，29 天 b 的概率 + ... + 60 天 a 的概率之和。
不知道这算不算暴力法。

44

301

2020-07-15 12:38:50 +08:00 via Android

@across #19 赞同 1/2，相当于 30 个 A 和 31 个 B 排序，最后一个是 B 的概率，为 1/2

45

LZSZ

2020-07-15 12:40:21 +08:00

你们大小月都不算的吗

46

301

2020-07-15 12:41:09 +08:00 via Android

等等，计算有误，确实是 31/61

47

shuaizi

2020-07-15 12:45:34 +08:00

31/61,
因为随机拿，每一瓶被剩下的概率都是 1/61,
剩下的一瓶在第二个冰箱里有 31 种可能

48

Xs0ul

2020-07-15 12:46:52 +08:00

4

等价的问题是，扔 60 次硬币，正面小于等于 30 次的概率，是二项分布的累加和

具体结果楼上已经用 wolfram alpha 算出来了

49

cigarzh

2020-07-15 12:50:33 +08:00

3

解释：

每天起床抛一枚理想硬币，记录下结果但不去拿可乐（正面冰 1，反面冰 2 ）

到第 60 天晚上按照结果一一拿取可乐。

则，只要反面的记录小于等于 30 次，明天的最后一瓶必在冰 2 中

50

chris31326

2020-07-15 12:51:39 +08:00

0
60 天内只拿了 1 瓶

51

Xs0ul

2020-07-15 12:54:19 +08:00

1

验证很简单，把数字改小就好了，改成冰箱 1 有 1 瓶，冰箱 2 有 2 瓶，拿两天

按照 31/61 的做法，结果应该是 1/3

实际直接暴力解，概率是第一天拿抽冰箱 1 有 1/2，第一天抽到冰箱 2 并且第二天抽到冰箱 1 是 1/4，合计 3/4

而 3/4 就是 n=2，p=0.5 的二项分布的累加和

52

Xs0ul

2020-07-15 12:55:00 +08:00

1

@Xs0ul #51 修正 1/3 -> 2/3

53

jklzhu

2020-07-15 12:57:30 +08:00 via iPhone

二分之一，只需要考虑最后两个瓶

54

sixg0d

2020-07-15 13:05:19 +08:00

4

31/61 是错的。
转换成摸双色球是不等价的。随机事件都被改了：（在不考虑为空的情况下）原题概率分别为 0.5，而双色球概率是按球数分配。
转换成排列组合的序列时，的确最后剩下编号 2 的序列占 b/(a+b)，但问题在于每个序列并不是等概率的，问题出在一个冰箱为空后之后以概率 1 为摸另一冰箱，造成序列的权重不一样。一个简单的反例考虑 n 个编号 1，1 个编号 2 ；要想剩下编号 2，只能一直以 0.5 的概率选编号 1，最后的概率是 0.5^n 而不是 1/(n+1)
36 楼 @SakuraSa 提供的递推式是正确的解法（之一）。

55

dilu

2020-07-15 13:17:32 +08:00

我的理解是一天就拿一瓶拿空一个冰箱之前，不能从另外一个冰箱拿

那第一次拿就决定了最后一瓶出现在哪个冰箱

如果说随机的话，拿第一瓶的概率就是 1/2 怎么就能搞得这么复杂了

56

dilu

2020-07-15 13:21:47 +08:00

@chairuosen #41 你去面试，要么过要么挂，那么你过的概率就是 50%了？

但是有前提条件，两个人来面试，你必须录取一个人，针对某个人被录用的概率就是 1/2

lz 的题目里面说了必须要拿一瓶的

57

gtchan13579

2020-07-15 13:47:00 +08:00

@WinG

我觉得这个问题如果站在上帝视角，那么答案就是你认为的 0.55 以及那种算法，但对于拿可乐的人来说一切条件对于他来说一共有多少瓶可乐，每个冰箱有几瓶，他都不关心，他只关心今天我要从哪个冰箱拿一瓶，以及万一拿空了那我就从另一个冰箱拿了，所以后面 30 瓶可乐他压根不去考虑选择哪个冰箱。所以就是 30/60=1/2，这是从另一种角度来解释为什么是 1/2.

@chairuosen

58

gtchan13579

2020-07-15 13:54:22 +08:00

@gtchan13579 修正一下 57 楼的的说法。
我觉得这个问题如果站在上帝视角，那么答案就是 0.55 以及那种算法，但对于拿可乐的人来说一切条件对于他来说一共有多少瓶可乐，每个冰箱有几瓶，他都不关心或者不知道，他只关心今天我要从哪个冰箱拿一瓶，以及万一拿空了那我就从另一个冰箱拿了，所以感觉拿可乐=价于选冰箱了，拿光一个冰箱的可乐之后，冰箱 2 最终剩不剩可乐就是必然事件了，所以我站 1/2.

59

oaix

2020-07-15 14:33:02 +08:00

1

另一种等效的表达 Sum(0.5^(n+30)*combination(29+n, n), {n, 0, 30})

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum%280.5%5E%28n%2B30%29*combination%2829%2Bn%2C+n%29%2C+%7Bn%2C+0%2C+30%7D%29

60

Raven316

2020-07-15 15:52:20 +08:00

题目都没表达清楚啊：到底是随便从 2 个冰箱里拿可乐，还是先等概率选冰箱再拿可乐，说不清楚题意，答案怎么可能正确

61

talen666

2020-07-15 15:53:05 +08:00

如果改成一个冰箱里有 30 瓶可乐，31 瓶雪碧，最后剩下雪碧的概率是 31/61 吧

62

mcfog

2020-07-15 16:15:33 +08:00 via Android

绝大多数有争议的概率题其实都是语文问题

63

a4854857

2020-07-15 16:40:39 +08:00

诶.这帮人天天做噩梦说梦回高考
结果毕业了一问高中概率题答的比谁都积极

64

xuewuchen

2020-07-15 16:48:53 +08:00

嗨，这不是人说了算吗?剩最后三瓶的时候，就看我心情想剩几瓶了

65

Alexhex

2020-07-15 16:56:49 +08:00

同意，题目有歧义。36 楼的解法是有问题的，单看某一天，从 2 号冰箱取可乐的概率到底是 1/2 还是 31/61，是完全不一样的。“60 天内随机在 1 、2 中拿走 1 瓶”怎么看都是 1/2 的理解。

如果是 1/2，假设 B 冰箱里只有 30 瓶，问 60 天取空 B 冰箱的概率是多少，和 60 天后剩一瓶的概率没有差别。

66

wyz123723

2020-07-15 17:18:31 +08:00

出这题目的语文不及格,如果按照题意, 确实是 0

67

BlackwithBrown

2020-07-15 17:21:44 +08:00

其实题目的意思是 60 天内 30 天拿 1 的概率吧，计算机算为 0.55 左右

68

YUCOAT

2020-07-15 17:26:51 +08:00

我觉得答案还是 31/61

我觉得楼主的问题与下面这个问题是等价的：
所有可乐瓶的身上都标记一下自己属于哪个冰箱，然后把这 61 瓶可乐放一起，随机取走 60 瓶，然后检查最后一瓶可乐的瓶身，瓶可乐属于冰箱 2 的概率是多少。

69

wyz123723

2020-07-15 17:30:00 +08:00

一个冰箱拿空再拿另一个冰箱什么意思?如果我随机到第一个冰箱那我之后只能拿第一个冰箱的?那概率不是 30/61 吗

70

YUCOAT

2020-07-15 17:37:26 +08:00

或者我们换一个思路，一共 61 瓶可乐，其中的 60 瓶都会被取走，我们把最后没有被取走的那一瓶称为“幸运儿”。
现在题目相当于在问“幸运儿”是属于冰箱 2 的概率。

假设是随机取，那么这 61 瓶可乐，每瓶能成为幸运儿的概率必然是一样的。
既然如此，那么幸运儿的概率属于冰箱 2 的概率就是 31/61

71

yiran0

2020-07-15 17:42:22 +08:00

如果在浙江，1818 黄金眼考虑一下？！

72

Meltdown

2020-07-15 19:35:15 +08:00 via Android

题目有歧义吧，选的时候是每瓶等概率还是每个冰箱有概率没说清楚

73

ruokw

2020-07-15 20:20:03 +08:00 via Android

这里面有点问题，比方说 36 楼的 1/2 系数的概率，意味着某一冰箱空之前还需要选择冰箱，为啥当一个空了之后就不需要选择冰箱。对于 31/61 的应该是说明对冰箱不做选择，即 60 天每次一定选一个出来，不管从那个。最简单是说 a 有 1 个 b 有 2 个。现在算算概率。我自己还是觉得 31/61 的最靠谱。

74

oshio

2020-07-15 22:00:55 +08:00

2

@YUCOAT 不等价的。楼主的问题里面，哪怕 1 号冰箱只剩一下 1 瓶，2 号还有 31 瓶，下一次取到 1 号冰箱可乐的概率依然是 1/2，而不是 1/32 。

75

plko345

2020-07-16 00:21:21 +08:00

额, 最近 ronnie 也在他频道里讲了这个题

76

Harry1993

2020-07-16 00:54:57 +08:00

C(60, 30) / C(61, 30) = 31/61

77

wuqingdzx

2020-07-16 09:24:46 +08:00

请多些这样的问题

78

bluepikachu

2020-07-16 10:42:14 +08:00

@plko345 有关键字指路吗，想去看看

79

plko345

2020-07-16 21:59:33 +08:00

@bluepikachu 频道叫 "Better Women", 应该是两天前的一个视频

80

bluepikachu

2020-07-16 22:35:58 +08:00

@plko345 好的，感谢。