概率中的 P(Ω)=1 应该怎么理解？

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在学习事件独立性的时候(说是Ω与任意事件独立)。碰到 P(Ω)=1 这个式子，但是没明白具体意思。
它是说：
所有事件(同时)发生的概率为 1，还是说所有事件发生的概率之和为 1，还是说必然事件发生的概率为 1 呢？
所以就很难理解：Ω与任意事件是独立的？

概率

事件

任意

式子

15 条回复 • 2022-02-07 23:15:16 +08:00

66beta

2021-04-29 09:12:49 +08:00

Ω 是所有事件的集合
骰子可以是 1,2,3,4,5,6
P({1,2,3,4,5,6}) 必定发生

whileFalse

2021-04-29 09:22:10 +08:00

就是预先设定的规则，主要情况必然发生，排除意外情况的发生概率。
比如我们说抛硬币，我们设定结果一定是正面反面之一，而不可能是硬币立住了。这样正面反面加起来就是Ω，而Ω一定发生。
实际上抛硬币，可不可能硬币立住了呢？或者硬币滚丢了 /被人抢走了？这些都可能发生，所以实际上如果你仅仅把Ω视为“正面加反面”，那么 P(Ω)是小于 1 的。但在计算时我们简化模型，不考虑上述意外情况。

Celebi

2021-04-29 09:37:21 +08:00

Ω是样本空间，P(Ω)=1 是指「包含所有样本点的事件」发生的概率为 1 。如果Ω可数的话，也就是所有样本点ω发生的概率的和为 1 。

不论在什么事件已经发生的情况下，「包含所有样本点的事件」(Ω) 发生的概率都为 1 。

也就是，∀A∈事件域 F，P(ΩA)=P(Ω|A)P(A)=1·P(A)=P(Ω)P(A)。所以Ω与任意事件 A 独立。

IgniteWhite

2021-04-29 09:39:55 +08:00

@Celebi 君条件概率真正上手啊

Aalen

2021-04-29 09:51:58 +08:00

别的不说。。。。

补充一点，发生的概率是 1，并不是必然发生。

比如你往实数轴上随便选一个点，选中无理数的概率是 1 。但是选中有理数不是不可能发生的

ipwx

2021-04-29 10:27:14 +08:00

“所有事件发生的概率之和为 1” —— 这个理解很接近正确了

GuuJiang

2021-04-29 11:23:00 +08:00 via iPhone

数学问题要从定义出发，不要从直觉出发，“独立”在概率论里只有一个明确的定义，那就是 P(A)P(B)=P(AB) ⇔ A 和 B 独立，因此把 P(Ω)=1 代进去，显然成立

geelaw

2021-04-29 12:24:04 +08:00 via iPhone

这个问题本身就令我感到困惑，如果你不是高中生的话。

P(Omega)=1 是概率空间定义的一部分。没有理解概率空间的定义，怎么能谈“事件”？不能谈“事件”，怎么能谈“独立”？要问 P(Omega)=1 的意义应该在学习概率的定义的时候就问，到“事件独立”的定义再问似乎有点太晚了。

作为定义的一部分，它意在刻画“必然事件以 1 的概率发生”。

@Celebi #3 这个论证过程不好，因为你需要给概率是 0 的事件 A 定义条件概率，而通常是不考虑这个问题的。

回到直观理解必然事件与任意事件独立的问题上，这原因很简单，因为 A 和 B 独立的直观理解是“知道 A 是否发生，不会改变 B 是否发生的概率”。因为必然事件永远发生，所以“知道必然事件发生”等于“什么都没知道”，自然不影响任意事件发生的概率；反过来，知不知道某事件发生，都不影响必然事件的发生。

Jooooooooo

2021-04-29 14:07:50 +08:00

搜下概率论公理体系.

Raven316

2021-04-29 14:22:54 +08:00

所有事件(同时)发生的概率为 1-------哈哈什么鬼

ipwx

2021-04-29 14:30:22 +08:00

@Aalen 你这回答，不解决楼主的问题啊。而且 0 测度事件可能发生、P({x|x 是有理数}) = 0 这个结论要引入测度才能理解啊。

Celebi

2021-04-29 14:37:43 +08:00

@geelaw #8 你说的有道理，A 有可能是几乎不可能事件，条件概率中 P(A)>0 。

我一开始看到楼主的问题也有点愣住，怎么会在学习独立的时候(才)碰到这个式子。我猜测楼主是想直观理解 P(Ω)=1 和 Ω与任意事件独立这两件事。正如你所说，原因也很简单，前者是在刻画“必然事件以 1 的概率发生”，后者是因为“知道必然事件发生”等于“什么都没知道”。

James369

2021-04-29 15:43:00 +08:00

@Celebi #12 对，我就是这个意思，想直观的解释这个概念。不过感觉数学还是挺抽象的，像求解概率题目时，经常要把事件提前定义出来，然而定义事件这一步就很难。

Aalen

2021-04-29 15:56:21 +08:00

@ipwx 😜

tokubararonggeng

2022-02-07 23:15:16 +08:00

这就是概率的定义, 习惯就好了吧.